#1 2009-10-07 18:03:08

Hiniuial

Administrator

995188
Zarejestrowany: 2009-10-07
Posty: 7
Punktów :   
Prawdziwe imię:: Ewa

I wykład (07.10.2009)

I Elementy Logiki i teorii mnogości

1. Rachunek zdań

Def. 1
(i) Zdaniem w logice nazywamy wypowiedź oznajmującą, której (w kategoriach danej nauki) można przyporządkować jedną z dwóch ocen: ocenę prawdy lub ocenę fałszu.
(ii) Prawdziwość i fałszywość nazywamy wartościami logicznymi zdania i oznaczamy odpowiednio 1 i 0
(iii) w(p) = 1 - wartość logiczna zdania p jest równa 1 (zdanie p jest prawdziwe), w(p) = 0 - wartość logiczna zdania p jest równa 0 (zdanie jest fałszywe)

Def. 2 (Spójniki zdaniowe)
(i) negacja (zaprzeczenie) ~
~p - nie prawda, że p

(tabelka 1 - wstawię później)

(ii) alternatywa v
p v q - p lub q
(iii) koniunkcja ^
p ^ q - p i q
(iii) implikacja =>
p => q - jeśli p to q, z p wynika q, p pociąga q
p - poprzednik implikacji
q - następnik implikacji
(v) równoważność <=>
p <=> q - p wtedy i tylko wtedy gdy q, p tożsame q

(tabelka 2 - kiedyś wstawię )

Def. 3
Tautologią bądź prawem w rachunku zdań nazywamy wyrażenie rachunku zdań, które zawsze jest prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań podstawionych w miejsce zmiennych zdaniowych.

Def. 4
Dla dowolnych zdań p, q, r, następujące wyrażenia są tautologiami rachunku zdań:

p v ~p - zasada tercium non datum (prawo wyłączonego środka)
~(p^~p) - prawo wyłączonej sprzeczności
~(~p) <=> p - prawo podwójnego zaprzeczenia
p v q <=> q v p - prawo przemienności alternatywy
p ^ q <=> q ^ p - prawo przemienności koniunkcji
p v (q v r) <=> (p v q) v r - prawo łączności alternatywy
p ^ (q ^ r) <=> (p ^ q) ^ r - prawo łączności koniunkcji
p ^ (q v r) <=> (p ^ q) v (p ^ r) - prawo rozdzielności (czego względem czego nie zapisałam ><")
p v (q ^ r) <=> (p v q) ^ (p v r) - -||-
~(p v q) <=> ~p ^ ~q - prawo De Morgan'a
~(p ^ q) <=> ~p v ~q - prawo De Morgan'a
~(p=>q) <=> p ^ ~q - zaprzeczenie implikacji
(p <=> q) <=> (p=>q ^ q=>p)
(p=>q) <=> (~q=>~p) - prawo transpozycji

Def. 5
(i) p => q - twierdzenie
q - warunek konieczny na to, aby p (teza)
p - warunek wystarczający aby q (założenie)
(ii) p <=> q - twierdzenie
p (q) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby q (p)
(iii) implikacja przeciwna (nie pamiętam dokładnie tego kawałka bo zasnęłam.... jak ktoś wie co tu dokładnie było to niech napisze)
p=>q = ~p ~> ~q 
p~>q = ~p=>~q

2. Funkcje zdaniowe

Def. 6:
(i) Funkcją zdaniowa
φ(x), xεX
jednej zmiennej x o niepustym zakresie X nazywany wyrażenie zawierające zmienną x, które staje się zdaniem gdy w miejsce zmiennej x podstawimy nazwę dowolnego elementu zbioru X. Zmienną X występującą w funkcji zdaniowej φ(x), xεX nazywamy zmienną wolną.
(ii) Mówimy że element a ε X spełnia funkcję zdaniową φ(x), xεX gdy φ(a) jest zdaniem prawdziwym. Zbiór elementów spełniających funkcję zdaniową φ(x), xεX oznaczamy:
{xεX; φ(x)}
i nazywamy wykresem funkcji zdaniowej.

Przykład 7:
(i) liczba x jest wymierna, xε|R
φ(x) = Liczba x jest wymierna
x = |R
φ(1) = liczba 1 jest wymierna - zdanie prawdziwe
φ(π) = liczba π jewst wymierna - zdanie fałszywe
{xε|R = liczba x jest wymierna} = |Q (to było takie przekreślone Q nie wiem jak to zapisać)
(ii) x2 + 1 = 0, xε|R   (x2+1=O to φ(x), a ta "2" to nie 2 tylko kwadrat)
{ xε|R: x2 + 1 = 0} = O
(iii) z2 - x < 0, xε|N
{xε|N: x2 - x <0} = {1}

3. Kwantyfikatory

Def.8
(i) "Dla każdego" - kwantyfikator ogólny (duży) [imgl]http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/ogolny_stary.jpg[/img] lub [imgl]http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/ogolny.jpg[/img] (u nas ten drugi był zapisywany nie z xεX po prawej, tylko pod spodem jak w pierwszym)
(ii) "Istnieje" - kwantyfikator szczegółowy (mały) http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/szczegolowy_stary.jpg lub http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/szczegolowy.jpg (u nas ten drugi był zapisywany nie z xεX po prawej, tylko pod spodem jak w pierwszym)
(iii) "istnieje dokładnie jeden" (piszemy jak "dla każdego" tylko z wykrzyknikiem)

Def. 9
φ(x), xεX - funkcja zdaniowa
(i) [imgl]http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/ogolny.jpg[/img]φ(x) - dla każdego x należącego do X zachodzi φ(x)
(ii) http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/szczegolowy.jpgφ(x) - istnieje x należące do X, takie że zachodzi φ(x)

Zmienne x w w.w. wyrażeniach nazywamy zmienną związaną odpowiednim kwantyfikatorem.

Uwaga 10
http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/ogolny_stary.jpgφ(x), http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/szczegolowy_stary.jpgφ(x) - zdania (na wykładzie używano tego drugiego symbolu, ale ponieważ nie znalazłam go z tą wersją z x pod spodem to wstawię tę, jak się nie łapiecie pisać na gg)

Uwaga 11
(wstawię jak narysuje w paincie... to dziwne jest)

Uwaga 12, 13, 14
(j.w.)

Ogólnie znalazłam też ściągi w necie, dla mniej zaawansowanych: http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_logika.php i dla bosów :] http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 … ,3302.html


http://fc08.deviantart.com/fs51/f/2009/301/f/0/AvatarCyniuch_by_Hiniuial.gif

Offline

 

#2 2009-10-09 14:27:41

deividas

Użytkownik

Skąd: Bielsko-Biała
Zarejestrowany: 2009-10-09
Posty: 4
Punktów :   

Re: I wykład (07.10.2009)

Z tego co mi wiadomo, po logice będziemy robic wartości bezwzględne, przynajmniej tak z chłopakami z
informatyki leci wykładowca. A jest wysoce prawdopodobne, że będziemy mieli to samo ) Podziwiam wkład, niesamowite, że Ci się chciało Nie pozostaje nic innego tylko brac przykład )

Pozdrawiam

Offline

 

#3 2009-10-09 16:54:25

Hiniuial

Administrator

995188
Zarejestrowany: 2009-10-07
Posty: 7
Punktów :   
Prawdziwe imię:: Ewa

Re: I wykład (07.10.2009)

Tak piszesz, a myślisz "ale jeleń" A tak serio to ja pewnie gdzieś zgubie zeszyt więc wole mieć to w necie.


http://fc08.deviantart.com/fs51/f/2009/301/f/0/AvatarCyniuch_by_Hiniuial.gif

Offline

 

#4 2009-10-09 22:10:40

deividas

Użytkownik

Skąd: Bielsko-Biała
Zarejestrowany: 2009-10-09
Posty: 4
Punktów :   

Re: I wykład (07.10.2009)

To już bardziej ekonomiczne jest kserowanie notatek i wrzucanie ich w postaci zdjęc "jeleń" będzie mnie jeleniowaty, nie uważasz?

Offline

 

#5 2009-10-11 18:39:45

Hiniuial

Administrator

995188
Zarejestrowany: 2009-10-07
Posty: 7
Punktów :   
Prawdziwe imię:: Ewa

Re: I wykład (07.10.2009)

A rozczytasz moje pismo ? Bo ja wątpię :]


http://fc08.deviantart.com/fs51/f/2009/301/f/0/AvatarCyniuch_by_Hiniuial.gif

Offline

 

#6 2009-10-12 07:49:25

deividas

Użytkownik

Skąd: Bielsko-Biała
Zarejestrowany: 2009-10-09
Posty: 4
Punktów :   

Re: I wykład (07.10.2009)

W zasadzie "tercium non datum" które zapisałaś tak:
p v ~q - zasada "tercium non datum" (prawo wyłączonego środka) nie powinno byc q lecz p, bowiem mówi ono o tym, że jeśli w logice dwuwartościowej jakieś zdanie nie jest prawdą to jego zaprzeczenie musi byc. Odwołujemy się ciągle do tego samego zdania.

czyli:
p v ~p


Nie wiem czy rozczytam, ale zawsze uważałem, że to ja hieroglifami piszę:)

Ostatnio edytowany przez deividas (2009-10-12 07:50:09)

Offline

 

#7 2009-10-12 19:05:49

Hiniuial

Administrator

995188
Zarejestrowany: 2009-10-07
Posty: 7
Punktów :   
Prawdziwe imię:: Ewa

Re: I wykład (07.10.2009)

Dzięki Faktycznie źle przepisałam


http://fc08.deviantart.com/fs51/f/2009/301/f/0/AvatarCyniuch_by_Hiniuial.gif

Offline

 

Stopka forum

RSS
Powered by PunBB
© Copyright 2002–2008 PunBB
Polityka cookies - Wersja Lo-Fi


Darmowe Forum | Ciekawe Fora | Darmowe Fora
www.animesession.pun.pl www.klubkob.pun.pl www.extremespeedway.pun.pl www.bewu.pun.pl www.haxballonline.pun.pl