I Elementy Logiki i teorii mnogości
1. Rachunek zdań
Def. 1 (i) Zdaniem w logice nazywamy wypowiedź oznajmującą, której (w kategoriach danej nauki) można przyporządkować jedną z dwóch ocen: ocenę prawdy lub ocenę fałszu. (ii) Prawdziwość i fałszywość nazywamy wartościami logicznymi zdania i oznaczamy odpowiednio 1 i 0 (iii) w(p) = 1 - wartość logiczna zdania p jest równa 1 (zdanie p jest prawdziwe), w(p) = 0 - wartość logiczna zdania p jest równa 0 (zdanie jest fałszywe)
Def. 2 (Spójniki zdaniowe) (i) negacja (zaprzeczenie) ~ ~p - nie prawda, że p
(tabelka 1 - wstawię później)
(ii) alternatywa v p v q - p lub q (iii) koniunkcja ^ p ^ q - p i q (iii) implikacja => p => q - jeśli p to q, z p wynika q, p pociąga q p - poprzednik implikacji q - następnik implikacji (v) równoważność <=> p <=> q - p wtedy i tylko wtedy gdy q, p tożsame q
(tabelka 2 - kiedyś wstawię :P)
Def. 3 Tautologią bądź prawem w rachunku zdań nazywamy wyrażenie rachunku zdań, które zawsze jest prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań podstawionych w miejsce zmiennych zdaniowych.
Def. 4 Dla dowolnych zdań p, q, r, następujące wyrażenia są tautologiami rachunku zdań:
p v ~p - zasada tercium non datum (prawo wyłączonego środka) ~(p^~p) - prawo wyłączonej sprzeczności ~(~p) <=> p - prawo podwójnego zaprzeczenia p v q <=> q v p - prawo przemienności alternatywy p ^ q <=> q ^ p - prawo przemienności koniunkcji p v (q v r) <=> (p v q) v r - prawo łączności alternatywy p ^ (q ^ r) <=> (p ^ q) ^ r - prawo łączności koniunkcji p ^ (q v r) <=> (p ^ q) v (p ^ r) - prawo rozdzielności (czego względem czego nie zapisałam ><") p v (q ^ r) <=> (p v q) ^ (p v r) - -||- ~(p v q) <=> ~p ^ ~q - prawo De Morgan'a ~(p ^ q) <=> ~p v ~q - prawo De Morgan'a ~(p=>q) <=> p ^ ~q - zaprzeczenie implikacji (p <=> q) <=> (p=>q ^ q=>p) (p=>q) <=> (~q=>~p) - prawo transpozycji
Def. 5 (i) p => q - twierdzenie q - warunek konieczny na to, aby p (teza) p - warunek wystarczający aby q (założenie) (ii) p <=> q - twierdzenie p (q) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby q (p) (iii) implikacja przeciwna (nie pamiętam dokładnie tego kawałka bo zasnęłam.... jak ktoś wie co tu dokładnie było to niech napisze) p=>q = ~p ~> ~q p~>q = ~p=>~q
2. Funkcje zdaniowe
Def. 6: (i) Funkcją zdaniowa φ(x), xεX jednej zmiennej x o niepustym zakresie X nazywany wyrażenie zawierające zmienną x, które staje się zdaniem gdy w miejsce zmiennej x podstawimy nazwę dowolnego elementu zbioru X. Zmienną X występującą w funkcji zdaniowej φ(x), xεX nazywamy zmienną wolną. (ii) Mówimy że element a ε X spełnia funkcję zdaniową φ(x), xεX gdy φ(a) jest zdaniem prawdziwym. Zbiór elementów spełniających funkcję zdaniową φ(x), xεX oznaczamy: {xεX; φ(x)} i nazywamy wykresem funkcji zdaniowej.
Przykład 7: (i) liczba x jest wymierna, xε|R φ(x) = Liczba x jest wymierna x = |R φ(1) = liczba 1 jest wymierna - zdanie prawdziwe φ(π) = liczba π jewst wymierna - zdanie fałszywe {xε|R = liczba x jest wymierna} = |Q (to było takie przekreślone Q nie wiem jak to zapisać) (ii) x2 + 1 = 0, xε|R (x2+1=O to φ(x), a ta "2" to nie 2 tylko kwadrat) { xε|R: x2 + 1 = 0} = O (iii) z2 - x < 0, xε|N {xε|N: x2 - x <0} = {1}
3. Kwantyfikatory
Def.8 (i) "Dla każdego" - kwantyfikator ogólny (duży) [imgl]http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/ogolny_stary.jpg[/img] lub [imgl]http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/ogolny.jpg[/img] (u nas ten drugi był zapisywany nie z xεX po prawej, tylko pod spodem jak w pierwszym) (ii) "Istnieje" - kwantyfikator szczegółowy (mały) lub (u nas ten drugi był zapisywany nie z xεX po prawej, tylko pod spodem jak w pierwszym) (iii) "istnieje dokładnie jeden" (piszemy jak "dla każdego" tylko z wykrzyknikiem)
Def. 9 φ(x), xεX - funkcja zdaniowa (i) [imgl]http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/img/ogolny.jpg[/img]φ(x) - dla każdego x należącego do X zachodzi φ(x) (ii) φ(x) - istnieje x należące do X, takie że zachodzi φ(x)
Zmienne x w w.w. wyrażeniach nazywamy zmienną związaną odpowiednim kwantyfikatorem.
Uwaga 10 φ(x), φ(x) - zdania (na wykładzie używano tego drugiego symbolu, ale ponieważ nie znalazłam go z tą wersją z x pod spodem to wstawię tę, jak się nie łapiecie pisać na gg)
Uwaga 11 (wstawię jak narysuje w paincie... to dziwne jest)
Uwaga 12, 13, 14 (j.w.)
Ogólnie znalazłam też ściągi w necie, dla mniej zaawansowanych: http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_logika.php i dla bosów :] http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 … ,3302.html
|
Z tego co mi wiadomo, po logice będziemy robic wartości bezwzględne, przynajmniej tak z chłopakami z informatyki leci wykładowca. A jest wysoce prawdopodobne, że będziemy mieli to samo :)) Podziwiam wkład, niesamowite, że Ci się chciało :) Nie pozostaje nic innego tylko brac przykład :))
Pozdrawiam
|
W zasadzie "tercium non datum" które zapisałaś tak: p v ~q - zasada "tercium non datum" (prawo wyłączonego środka) nie powinno byc q lecz p, bowiem mówi ono o tym, że jeśli w logice dwuwartościowej jakieś zdanie nie jest prawdą to jego zaprzeczenie musi byc. Odwołujemy się ciągle do tego samego zdania.
czyli: p v ~p
Nie wiem czy rozczytam, ale zawsze uważałem, że to ja hieroglifami piszę:)
|